Este libro tiene por propósito principal servir como material didáctico a los alumnos de la UNED de la asignatura “Geometría básica” del primer curso del grado en Matemáticas. También puede servir de lectura a toda persona interesada en tener unos conocimientos básicos de Geometría desde un punto de vista sintético, es decir sin coordenadas, y puede ser útil a profesores de matemáticas de secundaria y bachillerato.
La Geometría es sin duda una de las disciplinas centrales de las matemáticas. Nadie puede poner en duda que es necesario estudiar Geometría para poderse considerar matemático, o incluso una persona culta. Resulta obligado recordar la frase de la Academia de Platón: “que no entre nadie que no sepa Geometría”. Ahora bien, el problema se plantea sobre qué se debe estudiar dentro de la Geometría. Con 2000 años de historia es fácil comprender que se podría llenar el plan de estudios de todo un grado sólo con una parte del desarrollo de esta disciplina. La respuesta a esta pregunta no ha sido la misma en todas las épocas y sigue sin serlo en todas las universidades. Algunos de los temas que se tratarán en este curso habían sido arrinconados o incluso suprimidos de los planes de estudios, pero la experiencia ha impuesto su recuperación por razones formativas y utilitarias importantes.
La decisión en la UNED ha sido el diseño de un curso donde se incluyeran los siguientes puntos: geometría elemental del plano y el espacio, construcciones geométricas elementales, geometría axiomática, geometrías no euclidianas, poliedros. Por esto hemos elegido para abordar este curso el método axiomático que desde Euclides hasta nuestros días está dando tan buen resultado. Así tenemos ya ganados los tres primeros puntos anteriores de una sola vez. El sistema axiomático tiene la ventaja de ser sólido en sus principios, pero tiene el problema, en ocasiones, de un avance dificultoso y lento. Este problema se soluciona tomando un sistema de axiomas clásico-moderno que aprovecha la potencia de los números reales y nos hace superar algunas de las dificultades de sistemas axiomáticos completamente geométricos. Por otra parte este sistema conserva algunos de los axiomas clásicos, lo que nos ofrece la posibilidad de introducir las geometrías no euclidianas, más particularmente la geometría hipérbólica justificándose con el problema original que la motivó, la independencia del axioma V de Euclides del resto de los axiomas.
Es indudable que la geometría analítica, con el uso de coordenadas, ofrece un método potentísimo al poder reducir a números los objetos y sus posiciones, pero es necesario primero conocer los problemas geométricos y su motivación, y observar su dificultad antes de reducirlos a ecuaciones algebraicas. En ocasiones argumentos sintéticos resuelven problemas difíciles desde el punto de vista analítico o los facilitan enormemente. Pero la controversia entre geometría analítica o sintética se resolvió históricamente y hoy en día los matemáticos sabemos que es necesario conocer y aplicar los dos métodos.
El objetivo de este curso es que los alumnos sean capaces de razonar con objetos geométricos, primero nos quedamos con la primera parte de la frase: capaces de razonar. La Geometría ha sido utilizada para aprender a razonar o mejorar en esta habilidad durante 2000 años y creemos que puede seguir desempeñando muy bien ese papel. La razón la da la segunda parte de la frase “…con objetos geométricos”; la geometría tiene la ventaja sobre otras ciencias de tener un laboratorio muy accesible: una hoja de papel, un lápiz, una regla … es el ejemplo más claro de lo que es el modelado de la realidad en matemáticas.
